第两百九十章 论文答辩之答辩
“尊敬的各位来宾，亲爱的同学们，今天是普林斯顿大学数学系的一个无比光荣的日子，我们普林斯顿大学数学系的君信同学的特别论文答辩仪式在普林斯顿大学数学系大礼堂举行。让我们有请我们的老朋友君信同学来到讲台上！” 一阵热烈的掌声欢迎下，君信从台下起身来到了讲台上。朝着台下恭敬的鞠了一躬。 “有请君信同学到发言台上就坐。”主持人对君信说道。 这是事先说好的，君信点了点头，也没有说什么话，抬脚像发言台上走去。 “请论文答辩委员会的成员，论文答辩委员会主席，副主席，到指定位置就坐，另外请各位前来参加论文答辩观礼的其他教授和同学们依次就坐。” “现在，我们将这个舞台交给君信同学！”说到这里，主持人知趣的走下了台。 君信打开了他的前面的麦克风，轻轻的试了试，然后开始了他的今天的发言： “尊敬的各位导师，各位教授，各位来宾以及各位同学们，大家下午好，感谢大家能给抽出时间来听我的论文答辩，下面我们正式开始今天的内容。” “爱尔兰根纲领是菲利克斯·克莱因于1872年发表一个深具影响的研究纲领，题为新几何研究上比较的观点，由于克莱因那个时候在爱尔兰根而得名。该纲领建议了对于那个时候的几何问题的一种新的解决办法。这是近现代以来，数学界的第一个具有影响力的数学纲领，几乎引领了整个十九世纪末的数学几何问题的研究。” “同样，希尔伯特先生自1917年到1922年期间，为了拯救传统的数学而创造性的提出了关于数学证明上的相关问题的猜想，我们称之为希尔伯特纲领，虽然因为哥德尔不完备定理的提出而宣告破产，却成功的将数学的研究引领进入了数学基础时代。” “而在1967年，我们尊敬的罗伯特-郎兰兹教授，在给安德雷-维伊教授的信中。”说到这里，君信的目光看向了台下的郎兰兹教授，郎兰兹教授微微的向前欠了欠身子表示感谢。 “它是一组意义深远的猜想，这些猜想精确地预言了数学中某些表面上毫不相干的领域之间可能存在的联系。在未来的数学研究中，郎兰兹纲领必将是一个意义重大的问题。” “我想，去年我在《数学年刊》上发表了一篇关于谷山-志村猜想与费马大定理之间的关系的论文。我们用更为准确的话来说，应该是谷山-志村-韦依猜想，后者是具有深刻算术性质的几何对象，但是前者是来源于截然不同的数学分析领域的高度周期性的函数。我认为，如果证明了费马大定理，这同样是对郎兰兹纲领的一个重要的佐证。从这一点上可以看出，朗兰兹纲领则提出了数论中的伽罗瓦表示与分析中的自守型之间的一个关系网，” “让我们来系统性的梳理一下郎兰兹纲领的相关内容吧。朗兰兹纲领的根源，可以追溯到数论中最深刻的结果之一，即二次互反律。二次互反律最早产生于17世纪费马的时代，1801年高斯给出了其第一个证明。数论中经常提到的一个问题是：当两个素数相除时，余数是否是完全平方” “二次互反律揭示了关于素数p和q的两个貌似无关的问题之间存在的奇妙联系，这两个问题是：“p除以q的余数是否为完全平方”与“q除以p的余数是否为完全平方”尽管关于这一定律已经有许多证明(高斯本人就给出了六个不同的证明)，二次互反律仍然是数论中最神奇的事实之一。20世纪20年代高木贞治和埃米-阿廷又发现了其它的较一般的互反律。由此再反过来看待朗兰兹纲领的时候，就会发现郎兰兹纲领的一个最初动机，就是要对更一般情形的互反律提供完全的理解。” “请大家打开论文集，翻开到其中的第十二页，在这里，我主要给出了关于郎兰兹纲领的两个主要的铺垫。即以阿廷互反律为起点的定义：给定一个Q上的、伽罗瓦群为可交换群的数域，阿廷互反律向这个伽罗瓦群的任何一支一维表示配上一枚L函数，并断言：此等L-函数俱等于某些狄利克雷L函数（黎曼ζ函数的类推，由狄利克雷特征表达）。此二种L-函数之间的准确的联系构成了阿廷互反律。” “在阿廷互反律的基础上，只要找到适当的狄利克雷L-函数的推广，而做到这一点的人，便是赫克教授。赫克教授曾联系全纯自守形式（定义于上半复平面上、满足某些函数方程的全纯函数）与狄利克雷L函数。朗兰兹教授在此基础上，推广赫克理论，以应用于自守尖点表示（自守尖点表示是Q-阿代尔环上一般线性群GLn的某类无限维不可约表示）。每一来自给定数域的伽罗瓦群的有限维表示的阿廷L-函数，都相等于某一来自自守尖点表示的L-函数。” “从这个结果，不，应该是从这个猜想开始，郎兰兹教授提出了一系列关于数论个群论方面的内容，从而将纯数学和分析数学联系在了一起，形成了规模庞大的郎兰兹纲领。之后无论是函子性原则还是广义的拉马努金猜想，都是如此。” “历史的内容我们就回顾到这个地方，接下来的时间我们开始进入到我的论文中来。论文的核心部分和中心意思都是，对于任意给定的函数域建立了其伽罗瓦群表示和与该域相伴的自守型之间的精确联系。” “即我的证明的相应的是整体朗兰兹纲领，对更抽象的所谓函数域而非通常的数域情形提供了这样一种完全的理解。我们可以将函数域设想为由多项式的商组成的集合，对这些多项式商可以像有理数那样进行加、减、乘、除。” “请大家将论文打开到第二十八页，这里介绍了一个人的成果，这个人的名字叫做弗拉基米尔-德里菲尔德。”