第七十四章 梅森素数
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梅森数是指形如2^p-1的正整数,其中p代表的是素数,常记为mp,若某个梅森数同时也是素数,则称之为梅森素数。 之所以称其为梅森数,是为了纪念17世纪的法国著名数学家梅森对形如2^p-1型素数做出过的研究。 而实际上,针对形如2^p-1这样的数,研究的历史可以追溯到2300多年前。 欧几里得在证明了素数有无穷多个之后,便提出少量素数可写成“2^p-1”的形式。 这显然是一个很神奇的事情,其中p指的是素数,然后让其成为2的指数,接着再减一个1,就有可能出现一个新的素数。 这看起来十分的巧合,却也隐藏着独属于数字的魅力,所以关于对梅森素数的研究,在数学界也十分的出名。 而此时,在林晓看来,针对梅森素数的分布规律,他似乎也可以用自己的这个方法来搞出来。 “试试吧。” 他心中这么想了想,便开始动起了手。 将那么多本科书全部都吃透了,他现在大脑中所储备的数学知识那是相当多的。 关于梅森素数的知识,他也看了不少,比如有一个新梅森猜想,这个猜想是关于三个给定条件中,只要有两个成立,那么另外一个也成立。 除此之外,还有一个叫做周氏猜测的猜想,这是华国数学家周海忠于1992年提出的,他于《梅森素数的分布规律》一文中针对梅森素数的分布规律做出了一次相对精准的预测,其内容是:当2^2^n 周氏猜测虽然并没有帮助人们直接找到梅森素数,但是却缩小了人们寻找梅森素数的范围,以至于在国际上也受到了相当大的好评,包括菲尔兹奖和沃尔夫奖双料得主,完成了素数定理初等证明的阿特勒·塞尔伯格教授,也认为周氏猜测具有创新性,开创了富于启发性的新方法,此外,其创新性还表现在揭示新的规律上。 不过,证明周氏猜测的困难还是相当大的,至今没有证明或反证,所以也仍然属于一道世界性的数学难题。 对于林晓来说,这些猜想什么的,暂时对他没有什么用,但是对他的研究来说也有这样一定的指导意义。 “要是这么说的话,根据我的方法,倒是有可能对周氏猜测做出证明?” 心中思考着这个问题,林晓拿出了笔,找来草稿纸开始计算了起来。 对于数学家们来说,用最原始的纸笔来解决数学问题,显然是最方便的,而随着自己的笔头下出现一道道公式,也能够给他们带来一种心理的满足感。 毕竟,这样一来他们就可以在心中说一句:“瞧,我正在进行这个世界上最聪明的工作呢。” …… 【3,7,31,127,257……】 林晓的首要工作,自然就是先将梅森数前面的几项给列出来。 由于有着指数项,所以随便列出几项后,数字就已经相当大了,不过对于林晓来说,数字大点,并不影响他对这个数字的判断。 现在随便给他写个一万以内的数字,他都能够在两秒之内判断出这个数字是不是质数,至于一万以上十万以内,他也能够在较短时间内判断出来。 这就是数感。 在历史上,很多天才都有这样的事例,就比如欧拉,他在双目失明后,直接靠心算算出了2^31-1这个梅森数为梅森素数,是当时已知的最大素数;再比如拉马努金,这位更是重量级,他的数感也是出名的厉害。 而有时候,这样的数感,对于解决问题也有着极大的帮助。 估计让林晓去参加那什么最强大脑,稍微展现一下,都能让在场的人为之惊叹。 写了几步后,林晓便发现其中存在了一些问题。 “因为我没有素数精确表达式,所以针对‘p’,关系式无法直接递推到无穷……难道我也要假设黎曼猜想成立吗?” 他抓了抓脑袋,有些无语。 黎曼猜想虽然是复变函数中的问题,看起来和素数分布没有任何关系,只不过黎曼zeta函数解析延拓后在复平面上的函数和包括π(x)的某个函数等价,π(x)也即素数计数函数。 所以假设黎曼猜想成立后,就能够直接找到素数分布,那他就可以直接用了。 不过,所有假设黎曼猜想成立的推论,或者是假设黎曼猜想不成立的推论,它们的提出者显然都是心慌慌的,尽管绝大多数数学家都认为黎曼猜想是成立的,毕竟在计算机验证的数字已经达到了十万亿个零点了。 而对于现在的林晓来说,他没必要搞这种事情,而且,到时候他可是要在数学家大会上做报告的,数学家大会会接受一篇假设黎曼猜想成立的报告吗? 他可不这么认为。 这样一来,他还不如就把自己整理出来的东西带上去讲就行了,虽然没有创新的点,但是考虑到他的年龄,相信到时候也不会有人说什么。 “嗯……这样可不行,我需要重新找到一个关系式,和梅森素数之间形成联系,不然的话我就得放弃了。” 而这就意味着他得将自己的这个新方法再次进行扩展。 他不由回想了一下脑海中关于素数的一些知识。 忽然,他想到了狄利克雷定理。 【若r,n互质,则lim(x→∞)π(x;n,r)/π(x)=1/φ(n)】 “通过算术级数的素数定理,似乎可以找到两者之间的关系。” 林晓心中默默思考,强大的数感,让他想到了(4x 3)。 “似乎,梅森素数都是形如4x 3这样的数?” 比如3,就等于4*0 3,而7,就等于4*1 3,再比如一个大一点的数字,比如欧拉心算出来的2^31-1,其等于2147483647,同样可以转换为(4x 3)的形式。 这是林晓直接看出来的。 他眼前一亮,开始了证明。 有了这个关系,他将梅森素数套在自己的那个变换构造函数上,也就没问题了。